El hombre que midió la Tierra con dos palos y dos sombras
Por Juan Fernando Pachón Botero
@JuanFernandoPa5
Hace más de dos mil años, un hombre adelantado a su tiempo, un polímata excepcional, se embarcó en una gesta extraordinaria, valiéndose de su probado ingenio y aguzada intuición, con el fin de medir la circunferencia de la Tierra – con una increíble precisión -, a pesar de la rudimentaria tecnología con la que contaba. Eratóstenes de Cirene, un eximio erudito de la Antigua Grecia, nacido en Libia, uno de los ejes portuarios más relevantes de la costa mediterránea africana, a la sazón colonia griega, fue el artífice de tamaña proeza, armado tan sólo de dos varas, un caminante honesto y su prodigioso cerebro.
Ya para la época, se sabía que la luz proveniente del Sol, en su cenit, choca perpendicularmente sobre la superficie terrestre, al mediodía en un punto ortogonal del globo terráqueo, lo que equivale a decir que cualquier estructura o edificio que converja en dicho punto, en aquel mismo instante, no ha de proyectar sombra alguna; pero Eratóstenes observó algo más, algo que ningún otro hombre había interiorizado a tal grado. Vislumbró con gran poder de discernimiento que ese mismo Sol, en otro punto diferente y a la misma hora, proyectaba una sombra cuya longitud dependía del ángulo entre ambos puntos. ¡Y si esto no es argumento suficiente para echar por tierra todas las teorías conspiranoicas de los benditos terraplanistas, entonces vayámonos al carajo!
Eratóstenes, padre fundador de la geografía, en aras de desarrollar su experimento mental, mandó a erigir sendas varas de madera, una situada en Siena (en la actualidad Asuán) y la otra en Alejandría, pináculo del saber antiguo. El día señalado para llevar a cabo aquella hazaña intelectual no podía ser otro que el solsticio de verano, a las doce del meridiano. Así las cosas, el genio griego corroboró con gran acierto, según sus anotaciones anteriores, que la vara ubicada en Siena no proyectaba ninguna sombra; pero la de Alejandría sí, formando un ángulo de 7,2 grados entre la pendiente que empataba con la sombra y la columna vertical, o lo que es lo mismo, 7,2 grados con respecto a la vara dispuesta en Siena. A su vez, Eratóstenes ya sabía de antemano la distancia entre Siena y Alejandría: 5000 estadios (800 km, aproximadamente), pues había contratado previamente a un mensajero para que midiera – a pasos – el trayecto entre las dos ciudades. Y es aquí cuando se pone de manifiesto la importancia de una apropiada gestión de las matemáticas: ¡la magia intangible de los números y los procedimientos deductivos!
Así pues, basándose primordialmente en axiomas geométricos euclidianos y trigonometría básica, Eratóstenes dio con un triángulo – virtual – sobre el cual halló el ángulo entre el mástil de madera (cateto adyacente) y la inclinación solar (hipotenusa) con respecto a la sombra (cateto opuesto). Una vez calculado el ángulo, determinó una relación de 1/50, resultado de dividir los 360 grados que forman un círculo completo entre los 7,2 grados del experimento, y por simple regla de tres, multiplicando los 800 km – que separan ambas ciudades – por el factor de 50 resultante, dedujo con asombrosa precisión, casi milimétrica, la circunferencia de la Tierra. 40000 km fue el valor obtenido por el sabio. 40008 km es el valor establecido al día de hoy mediante geodesia satelital, sofisticados altímetros de radar y sistemas ultramodernos de GPS. ¡Un margen de error de tan sólo 8 km!, lo que equivale al 0,02 %, un valor casi despreciable. La simpleza del modelo aritmético-geométrico utilizado por Eratóstenes contrasta con la lógica apabullante de su análisis, lo que sugiere que un uso adecuado de las matemáticas suele ser una herramienta inestimable y poderosa, capaz incluso de desentrañar los misterios y entresijos del mundo natural.
El genio que inventó el cálculo para explicar porqué las manzanas caen de los árboles
A mediados del siglo XVII un severo brote de peste azotó Londres, lo que derivó en una fuga masiva de sus habitantes hacia confines más seguros. Entre aquellos, se encontraba un joven introvertido pero brillante que frisaba los 23 años, el cual huyó en busca de resguardo en la granja de su familia. Acaso les suene familiar el nombre de un tal Isaac Newton, protagonista, quizá, de la cuarentena más afortunada y productiva de la que se tenga noticia, pues fue en esta etapa de exilio obligado cuando el científico alcanzó las más altas cumbres del saber y la excelencia. A menudo, se suele relacionar su ilustre nombre con las leyes de la mecánica clásica, la gravitación universal y la teoría del color, logros en sí maravillosos, no cabe duda; pero muchos desconocen su invaluable aporte al campo de estudio de las matemáticas, pues también ha de ser considerado el padre del cálculo infinitesimal, título que ostenta con su contemporáneo alemán y archinémesis intelectual, Gottfried Leibniz, con el cual sostuvo una descarnada y dura disputa legal por el reconocimiento de su invención.
Lo cierto de todo es que ambos genios trabajaron de manera independiente, llegando cada uno a resultados similares, pero mediante métodos diferentes. En favor de Leibniz vale decir que éste tuvo la precaución de haber hecho oficial sus hallazgos, mientras que Newton, hombre desconfiado y huraño, guardó el secreto para sí, embebido en sus más hondas cavilaciones acerca del universo que le rodeaba. Así, meses antes de su magnífica creación, un desconcertado y contrariado Newton no cesaba de esbozar en su mente líneas de fuerza, vectores en todas direcciones, gradientes de energía y proyectiles en caída libre; pero se sentía como un pintor sin su lienzo, pues no contaba con una base matemática sólida para desplegar su complejo marco teórico, lo que le empujó a consumar su milagrosa epifanía de integrales y derivadas. Sin embargo, más allá de luchas de egos y aventuras personales que rayan en lo épico, vale la pena reflexionar sobre la real dimensión que supuso el cálculo en torno al florecimiento de las ciencias y el progreso de los pueblos en general.
Las teorías de Newton se fundamentan en el movimiento a una escala macro, así como en la dinámica celeste, lo que acarreaba serias dificultades a la hora de postular ecuaciones y realizar operaciones fiables, pues el álgebra, la geometría analítica y los sistemas logarítmicos resultan insuficientes para determinar, por ejemplo, la variación de la posición en el tiempo. El cálculo de la pendiente de una recta era pan comido para un matemático más o menos diestro, obteniendo un resultado unívoco y exacto; pero cuando se trataba de una curva el resultado era, en el mejor de los casos, aproximado (la suma de n pendientes infinitesimales). En el ámbito de la teoría newtoniana, para poder describir satisfactoriamente la trayectoria del tiro parabólico de un objeto en un campo gravitatorio se requiere saber con suma precisión la tasa de cambio de su movimiento en todo momento, lo cual sólo se logra mediante el cálculo diferencial, es decir, derivar su posición con respecto al tiempo, precisando sus máximos (picos) y sus mínimos (valles). Ahora bien, si lo que se desea saber es el área bajo esa misma curva, debemos acudir entonces al cálculo integral, es decir, conocer la sumatoria de cada posición (expresada en áreas rectangulares infinitesimales) a lo largo del tiempo.
Y para qué sirve toda esta parafernalia académica (pesada y tediosa para muchos), se estará preguntando usted, estimado lector. Es bastante simple. Sin estos fundamentos matemáticos, por ejemplo, difícilmente podría usted sumergirse en el vasto ciberespacio, buceando a través de los buscadores en línea, así como Einstein no hubiera podido desarrollar su teoría de la relatividad y, por ende, no existirían ni el GPS ni la energía nuclear ni la tecnología láser ni los paneles solares. Tampoco el hombre hubiera posado sus pies sobre la Luna ni se podrían lanzar satélites al cosmos ni mucho menos expediciones tripuladas a Marte, pues la plena comprensión en relación con las órbitas elípticas y la velocidad de escape (para contrarrestar la atracción gravitatoria que ejerce un cuerpo celeste sobre un objeto), información vital para garantizar un periplo seguro y exitoso, sólo se logra a través de un óptimo uso del cálculo avanzado. Asimismo, Tesla, el excéntrico y prolífico inventor serbio, no hubiera podido consolidar sus innovadoras teorías sobre campos magnéticos rotativos ni tampoco hubiera podido concebir el motor de inducción ni la corriente alterna, magnitud física esencial para otorgarles vida a nuestros electrodomésticos, a las industrias y a la red de distribución de energía en general. Y así me podría explayar páginas enteras.
Las matemáticas al servicio de la belleza y el equilibrio natural
No obstante, también podemos apreciar las matemáticas en escenarios más subjetivos, y en cierta forma etéreos. La noción de belleza en la naturaleza – y el arte, por extensión -, verbigracia, guarda una estrecha relación con el concepto de la proporción áurea. Veamos los antecedentes históricos. En el siglo III a.C. Euclides, figura fundacional de la geometría clásica, dio con un número – irracional – revestido de un halo casi místico, el número de oro (simbolizado por la letra ϕ o phi, en honor al escultor griego Fidias), cuyo valor se aproxima, redondeando, a 1,618, representado por la proporción (a+b)/a=a/b, lo que en palabras castizas significa que la división entre dos segmentos de una recta (a y b) sobre el segmento mayor (a) debe ser igual a la división entre el segmento mayor (a) sobre el segmento menor (b). Siglos después, el matemático italiano Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, el prócer que introdujo el sistema de numeración indo-arábigo y el cero a Occidente, ideó una sucesión en la cual cada número de ésta es igual a la suma de los dos números anteriores (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … y así hasta el infinito). Lo fascinante de dicha secuencia es que al dividir cualquier número por el inmediatamente anterior, el resultado tiende a 1,618, el número áureo de Euclides, lo cual se hace más evidente a medida que escogemos números cada vez mayores. Aquello, lejos de ser una curiosidad meramente aritmética, encierra un enigmático patrón estético – y funcional -, que trasciende hasta nuestro entorno natural e incluso más allá de las estrellas.
Los artistas clásicos helénicos se sirvieron del número áureo para dotar de belleza y armonía a sus obras, a partir de un rectángulo de proporción áurea (relación entre su largo y ancho de 1:1,618). La naturaleza única de esta armoniosa figura geométrica reside en que si se traza un cuadrado en su interior, la figura que queda en el área restante es otro rectángulo áureo, sobre el cual se repite la misma partición, y así de manera indefinida, tantas veces como se desee, dando como resultado una serie de cuadrados y rectángulos áureos cada vez más pequeños, cuya totalidad de vértices interiores se han de conectar entre sí mediante una espiral que describe una función logarítmica (con un ángulo de 137,5 grados). ¡Y voilà, he aquí la belleza revelada! Quizá el Partenón de Atenas, en cabeza de Fidias, artista a quien debemos la notación actual del número dorado, sea la representación arquitectónica más elevada y exquisita de aquella suerte de acertijo geométrico, que se rige bajo el mismo principio de anidación de las tradicionales matrioskas rusas (una muñeca dentro de otra, y ésta a su vez dentro de otra, y de otra, y de otra, …), símbolo de la continuidad de la vida.
Siglos más tarde, en el periodo de mayor esplendor del Renacimiento, Alberto Durero depuró la técnica de la espiral áurea, alcanzando cotas de especial belleza en sus pinturas. Leonardo da Vinci la utilizó en “La Gioconda”, “La Anunciación” y “La Última Cena”, y su afamado “Hombre de Vitruvio” dictó el paradigma de la belleza masculina y la perfección anatómica de la época. A mediados del siglo XX, Le Corbusier diseñó el majestuoso Edificio de las Naciones Unidas siguiendo los mismos criterios renacentistas. Del mismo modo, la relación de oro ha tenido diversas aplicaciones en la música, gozando de un amplio prestigio, con el objeto de brindar una estructura más sólida a las composiciones, ritmos y melodías. En tal sentido, Bach solía emplear la proporción áurea en sus fugas; Beethoven, en sus sinfonías; y hasta Lady Gaga, en sus fusiones electrónicas. En la actualidad, suele utilizarse en el diseño de logos, tarjetas de crédito y páginas web, en los encuadres para el cine y la televisión, en la fotografía artística, en la arquitectura de vanguardia, y hasta en las selfies que proliferan en las redes sociales.
Pero su influencia va más allá del arte y la cultura, y he aquí lo más inquietante, pues tal parece que la naturaleza abraza con ostensible fervor al número phi. La disposición de las hojas en las ramas de los árboles y plantas, por ejemplo, obedece a un patrón supeditado a la espiral áurea, procurando que ninguna hoja le dé sombra suficiente a otra, y así lograr que se optimice el ciclo de la fotosíntesis, lo que nos indica claramente que la relación de Fibonacci, antes que perseguir la belleza – sin un propósito aparente -, busca perfeccionar los procesos naturales. Bajo esta misma premisa, un girasol crece respetando la espiral áurea, tanto en sentido horario como antihorario, de tal forma que sus semillas logren aprovechar el máximo espacio posible, en aras de una reproducción eficaz y confiable. De igual forma, alrededor del 60 % de las galaxias tienden a adoptar una forma de espiral áurea, en función de favorecer la rotación diferencial y la tracción de la gravedad, así como los huracanes, en función de concentrar la energía en su vórtice central, o como la molécula del ADN, en función de maximizar la estabilidad de la preciada información genética que porta. Quizá uno de los casos más emblemáticos sea el de la concha del nautilus, un molusco milenario, que también medra bajo el influjo de una espiral logarítmica, fusionando belleza y eficiencia, en su empeño evolutivo de aumentar de tamaño sin cambiar de forma. Igualmente, la piña debe su aspecto ovalado y rugoso a la divina proporción y el ángulo de oro (137,5 grados), lo cual propicia que sus escamas hexagonales se compacten de una manera orgánica, evitando que se superpongan las unas sobre las otras.
El mismo cuerpo humano y el rostro son gobernados en términos de la sucesión de Fibonacci – y la simetría -, más como una solución pragmática en pro de la cohesión estructural y el crecimiento armónico, lo cual repercute inexorablemente en el factor estético: la belleza objetiva per se. Prueba fehaciente de ello es la relación de tamaño entre las tres falanges de los dedos, el largo del fémur comparado con la separación entre la rodilla y el tobillo, la estructura de la oreja, la altura total respecto a la distancia del ombligo hasta el suelo, la proporción entre la longitud del brazo entero y el antebrazo o del antebrazo y la mano, la relación entre el ancho de la boca y el de la nariz o la distancia entre los ojos. En fin. Me podría extender largamente citando miles de ejemplos en la naturaleza o en nuestra esfera más próxima, pero el objetivo primario de esta última parte del texto se centra, más bien, en resaltar la belleza velada y discreta que nos ofrece aquel mundo circundante y en apariencia habitual, una belleza que muchas veces escapa a nuestro incipiente y poco refinado sistema sensorial; ese orden matemático oculto que subyace en la cotidianidad y que nuestro cerebro clasifica, casi de un modo inconsciente, como agradable a la vista, lo que en sí se constituye como un triunfo incontestable de la evolución, redundando en un equilibrio natural perfecto – y necesario -.