{"id":14697,"date":"2026-03-15T10:26:07","date_gmt":"2026-03-15T15:26:07","guid":{"rendered":"https:\/\/www.conmarcapropia.com\/portal\/?p=14697"},"modified":"2026-03-22T11:15:55","modified_gmt":"2026-03-22T16:15:55","slug":"la-grandeza-incomprendida-de-las-matematicas-el-lenguaje-fundamental-para-interpretar-el-universo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.conmarcapropia.com\/portal\/la-grandeza-incomprendida-de-las-matematicas-el-lenguaje-fundamental-para-interpretar-el-universo\/","title":{"rendered":"La grandeza – incomprendida – de las matem\u00e1ticas: el lenguaje fundamental para interpretar el universo"},"content":{"rendered":"

El hombre que midi\u00f3 la Tierra con dos palos y una sombra<\/strong><\/p>\n

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\nPor Juan Fernando Pach\u00f3n Botero
\n@JuanFernandoPa5<\/span><\/a><\/p>\n

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Hace m\u00e1s de dos mil a\u00f1os, un hombre adelantado a su tiempo, un pol\u00edmata excepcional, se embarc\u00f3 en una gesta extraordinaria, vali\u00e9ndose de su probado ingenio y aguzada intuici\u00f3n, con el fin de medir la circunferencia de la Tierra – con una incre\u00edble precisi\u00f3n -, a pesar de la rudimentaria tecnolog\u00eda con la que contaba. Erat\u00f3stenes de Cirene, un eximio erudito de la Antigua Grecia, nacido en Libia, uno de los ejes portuarios m\u00e1s relevantes de la costa mediterr\u00e1nea africana, a la saz\u00f3n colonia griega, fue el art\u00edfice de tama\u00f1a proeza, armado tan s\u00f3lo de dos varas, un caminante honesto y su prodigioso cerebro.<\/p>\n

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Ya para la \u00e9poca, se sab\u00eda que la luz proveniente del Sol, en su cenit, choca perpendicularmente sobre la superficie terrestre, al mediod\u00eda en un punto ortogonal del globo terr\u00e1queo, lo que equivale a decir que cualquier estructura o edificio que converja en dicho punto, en aquel mismo instante, no ha de proyectar sombra alguna; pero Erat\u00f3stenes observ\u00f3 algo m\u00e1s, algo que ning\u00fan otro hombre hab\u00eda interiorizado a tal grado. Vislumbr\u00f3 con gran poder de discernimiento que ese mismo Sol, en otro punto diferente y a la misma hora, proyectaba una sombra cuya longitud depend\u00eda del \u00e1ngulo entre ambos puntos. \u00a1Y si esto no es argumento suficiente para echar por tierra todas las teor\u00edas conspiranoicas de los benditos terraplanistas, entonces vay\u00e1monos al carajo!<\/p>\n

Erat\u00f3stenes, padre fundador de la geograf\u00eda, en aras de desarrollar su experimento mental, mand\u00f3 a erigir sendas varas de madera, una situada en Siena (en la actualidad Asu\u00e1n) y la otra en Alejandr\u00eda, pin\u00e1culo del saber antiguo. El d\u00eda se\u00f1alado para llevar a cabo aquella haza\u00f1a intelectual no pod\u00eda ser otro que el solsticio de verano, a las doce del meridiano. As\u00ed las cosas, el genio griego corrobor\u00f3 con gran acierto, seg\u00fan sus anotaciones anteriores, que la vara ubicada en Siena no proyectaba ninguna sombra; pero la de Alejandr\u00eda s\u00ed, formando un \u00e1ngulo de 7,2 grados entre la pendiente que empataba con la sombra y la columna vertical, o lo que es lo mismo, 7,2 grados con respecto a la vara dispuesta en Siena. A su vez, Erat\u00f3stenes ya sab\u00eda de antemano la distancia entre Siena y Alejandr\u00eda: 5000 estadios (800 km, aproximadamente), pues hab\u00eda contratado previamente a un mensajero para que midiera – a pasos – el trayecto entre las dos ciudades. Y es aqu\u00ed cuando se pone de manifiesto la importancia de una apropiada gesti\u00f3n de las matem\u00e1ticas: \u00a1la magia intangible de los n\u00fameros y los procedimientos deductivos!<\/p>\n

As\u00ed pues, bas\u00e1ndose primordialmente en axiomas geom\u00e9tricos euclidianos y trigonometr\u00eda b\u00e1sica, Erat\u00f3stenes dio con un tri\u00e1ngulo – virtual – sobre el cual hall\u00f3 el \u00e1ngulo entre el m\u00e1stil de madera (cateto adyacente) y la inclinaci\u00f3n solar (hipotenusa) con respecto a la sombra (cateto opuesto). Una vez calculado el \u00e1ngulo, determin\u00f3 una relaci\u00f3n de 1\/50, resultado de dividir los 360 grados que forman un c\u00edrculo completo entre los 7,2 grados del experimento, y por simple regla de tres, multiplicando los 800 km – que separan ambas ciudades – por el factor de 50 resultante, dedujo con asombrosa precisi\u00f3n, casi milim\u00e9trica, la circunferencia de la Tierra. 40000 km fue el valor obtenido por el sabio. 40008 km es el valor establecido al d\u00eda de hoy mediante geodesia satelital, sofisticados alt\u00edmetros de radar y sistemas ultramodernos de GPS. \u00a1Un margen de error de tan s\u00f3lo 8 km!, lo que equivale al 0,02 %, un valor casi despreciable. La simpleza del modelo aritm\u00e9tico-geom\u00e9trico utilizado por Erat\u00f3stenes contrasta con la l\u00f3gica apabullante de su an\u00e1lisis, lo que sugiere que un uso adecuado de las matem\u00e1ticas suele ser una herramienta inestimable y poderosa, capaz incluso de desentra\u00f1ar los misterios y entresijos del mundo natural.<\/p>\n

El genio que invent\u00f3 el c\u00e1lculo para explicar por qu\u00e9 las manzanas caen de los \u00e1rboles<\/strong><\/p>\n

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A mediados del siglo XVII un severo brote de peste azot\u00f3 Londres, lo que deriv\u00f3 en una fuga masiva de sus habitantes hacia confines m\u00e1s seguros. Entre aquellos, se encontraba un joven introvertido pero brillante que frisaba los 23 a\u00f1os, el cual huy\u00f3 en busca de resguardo en la granja de su familia. Acaso les suene familiar el nombre de un tal Isaac Newton, protagonista, quiz\u00e1, de la cuarentena m\u00e1s afortunada y productiva de la que se tenga noticia, pues fue en esta etapa de exilio obligado cuando el cient\u00edfico alcanz\u00f3 las m\u00e1s altas cumbres del saber y la excelencia. A menudo, se suele relacionar su ilustre nombre con las leyes de la mec\u00e1nica cl\u00e1sica, la gravitaci\u00f3n universal y la teor\u00eda del color, logros en s\u00ed maravillosos, no cabe duda; pero muchos desconocen su invaluable aporte al campo de estudio de las matem\u00e1ticas, pues tambi\u00e9n ha de ser considerado el padre del c\u00e1lculo infinitesimal, t\u00edtulo que ostenta con su contempor\u00e1neo alem\u00e1n y archin\u00e9mesis intelectual, Gottfried Leibniz, con el cual sostuvo una descarnada y dura disputa legal por el reconocimiento de su invenci\u00f3n.<\/p>\n

Lo cierto de todo es que ambos genios trabajaron de manera independiente, llegando cada uno a resultados similares, pero mediante m\u00e9todos diferentes. En favor de Leibniz vale decir que \u00e9ste tuvo la precauci\u00f3n de haber hecho oficial sus hallazgos, mientras que Newton, hombre desconfiado y hura\u00f1o, guard\u00f3 el secreto para s\u00ed, embebido en sus m\u00e1s hondas cavilaciones acerca del universo que le rodeaba. As\u00ed, meses antes de su magn\u00edfica creaci\u00f3n, un desconcertado y contrariado Newton no cesaba de esbozar en su mente l\u00edneas de fuerza, vectores en todas direcciones, gradientes de energ\u00eda y proyectiles en ca\u00edda libre; pero se sent\u00eda como un pintor sin su lienzo, pues no contaba con una base matem\u00e1tica s\u00f3lida para desplegar su complejo marco te\u00f3rico, lo que le empuj\u00f3 a consumar su milagrosa epifan\u00eda de integrales y derivadas. Sin embargo, m\u00e1s all\u00e1 de luchas de egos y aventuras personales que rayan en lo \u00e9pico, vale la pena reflexionar sobre la real dimensi\u00f3n que supuso el c\u00e1lculo en torno al florecimiento de las ciencias y el progreso de los pueblos en general.<\/p>\n

Las teor\u00edas de Newton se fundamentan en el movimiento a una escala macro, as\u00ed como en la din\u00e1mica celeste, lo que acarreaba serias dificultades a la hora de postular ecuaciones y realizar operaciones fiables, pues el \u00e1lgebra, la geometr\u00eda anal\u00edtica y los sistemas logar\u00edtmicos resultan insuficientes para determinar, por ejemplo, la variaci\u00f3n de la posici\u00f3n en el tiempo. El c\u00e1lculo de la pendiente de una recta era pan comido para un matem\u00e1tico m\u00e1s o menos diestro, obteniendo un resultado un\u00edvoco y exacto; pero cuando se trataba de una curva el resultado era, en el mejor de los casos, aproximado (la suma de n<\/em> pendientes infinitesimales). En el \u00e1mbito de la teor\u00eda newtoniana, para poder describir satisfactoriamente la trayectoria del tiro parab\u00f3lico de un objeto en un campo gravitatorio se requiere saber con suma precisi\u00f3n la tasa de cambio de su movimiento en todo momento, lo cual s\u00f3lo se logra mediante el c\u00e1lculo diferencial, es decir, derivar su posici\u00f3n con respecto al tiempo, precisando sus m\u00e1ximos (picos) y sus m\u00ednimos (valles). Ahora bien, si lo que se desea saber es el \u00e1rea bajo esa misma curva, debemos acudir entonces al c\u00e1lculo integral, es decir, conocer la sumatoria de cada posici\u00f3n (expresada en \u00e1reas rectangulares infinitesimales) a lo largo del tiempo.<\/p>\n

Y para qu\u00e9 sirve toda esta parafernalia acad\u00e9mica (pesada y tediosa para muchos), se estar\u00e1 preguntando usted, estimado lector. Es bastante simple. Sin estos fundamentos matem\u00e1ticos, por ejemplo, dif\u00edcilmente podr\u00eda usted sumergirse en el vasto ciberespacio, buceando a trav\u00e9s de los buscadores en l\u00ednea, as\u00ed como Einstein no hubiera podido desarrollar su teor\u00eda de la relatividad y, por ende, no existir\u00edan ni el GPS ni la energ\u00eda nuclear ni la tecnolog\u00eda l\u00e1ser ni los paneles solares. Tampoco el hombre hubiera posado sus pies sobre la Luna ni se podr\u00edan lanzar sat\u00e9lites al cosmos ni mucho menos expediciones tripuladas a Marte, pues la plena comprensi\u00f3n en relaci\u00f3n con las \u00f3rbitas el\u00edpticas y la velocidad de escape (para contrarrestar la atracci\u00f3n gravitatoria que ejerce un cuerpo celeste sobre un objeto), informaci\u00f3n vital para garantizar un periplo seguro y exitoso, s\u00f3lo se logra a trav\u00e9s de un \u00f3ptimo uso del c\u00e1lculo avanzado. Asimismo, Tesla, el exc\u00e9ntrico y prol\u00edfico inventor serbio, no hubiera podido consolidar sus innovadoras teor\u00edas sobre campos magn\u00e9ticos rotativos ni tampoco hubiera podido concebir el motor de inducci\u00f3n ni la corriente alterna, magnitud f\u00edsica esencial para otorgarles vida a nuestros electrodom\u00e9sticos, a las industrias y a la red de distribuci\u00f3n de energ\u00eda en general. Y as\u00ed me podr\u00eda explayar p\u00e1ginas enteras.<\/p>\n

Las matem\u00e1ticas al servicio de la belleza y el equilibrio natural<\/strong><\/p>\n

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No obstante, tambi\u00e9n podemos apreciar las matem\u00e1ticas en escenarios m\u00e1s subjetivos, y en cierta forma et\u00e9reos. La noci\u00f3n de belleza en la naturaleza – y el arte, por extensi\u00f3n -, verbigracia, guarda una estrecha relaci\u00f3n con el concepto de la proporci\u00f3n \u00e1urea. Veamos los antecedentes hist\u00f3ricos. En el siglo III a.C. Euclides, figura fundacional de la geometr\u00eda cl\u00e1sica, dio con un n\u00famero – irracional – revestido de un halo casi m\u00edstico, el n\u00famero de oro (simbolizado por la letra \u03d5<\/em> o phi<\/em>, en honor al escultor griego Fidias), cuyo valor se aproxima, redondeando, a 1,618, representado por la proporci\u00f3n (a+b)\/a=a\/b, lo que en palabras castizas significa que la divisi\u00f3n entre dos segmentos de una recta (a y b) sobre el segmento mayor (a) debe ser igual a la divisi\u00f3n entre el segmento mayor (a) sobre el segmento menor (b). Siglos despu\u00e9s, el matem\u00e1tico italiano Leonardo de Pisa, m\u00e1s conocido como Fibonacci, el pr\u00f3cer visionario que introdujo el sistema de numeraci\u00f3n indo-ar\u00e1bigo y el cero a Occidente, ide\u00f3 una sucesi\u00f3n en la cual cada n\u00famero de \u00e9sta es igual a la suma de los dos n\u00fameros anteriores (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \u2026 y as\u00ed hasta el infinito). Lo fascinante de dicha secuencia es que al dividir cualquier n\u00famero por el inmediatamente anterior, el resultado tiende a 1,618, el n\u00famero \u00e1ureo de Euclides, lo cual se hace m\u00e1s evidente a medida que escogemos n\u00fameros cada vez mayores. Aquello, lejos de ser una curiosidad meramente aritm\u00e9tica, encierra un enigm\u00e1tico patr\u00f3n est\u00e9tico – y funcional -, que trasciende hasta nuestro entorno natural e incluso m\u00e1s all\u00e1 de las estrellas.<\/p>\n

Los artistas cl\u00e1sicos hel\u00e9nicos se sirvieron del n\u00famero \u00e1ureo para dotar de belleza y armon\u00eda a sus obras, a partir de un rect\u00e1ngulo de proporci\u00f3n \u00e1urea (relaci\u00f3n entre su largo y ancho de 1:1,618). La naturaleza \u00fanica de esta armoniosa figura geom\u00e9trica reside en que si se traza un cuadrado en su interior, la figura que queda en el \u00e1rea restante es otro rect\u00e1ngulo \u00e1ureo, sobre el cual se repite la misma partici\u00f3n, y as\u00ed de manera indefinida, tantas veces como se desee, dando como resultado una serie de cuadrados y rect\u00e1ngulos \u00e1ureos cada vez m\u00e1s peque\u00f1os, cuya totalidad de v\u00e9rtices interiores se han de conectar entre s\u00ed mediante una espiral que describe una funci\u00f3n logar\u00edtmica (con un \u00e1ngulo de 137,5 grados). \u00a1Y voil\u00e0<\/em>, he aqu\u00ed la belleza revelada! Quiz\u00e1 el Parten\u00f3n de Atenas, en cabeza de Fidias, artista a quien debemos la notaci\u00f3n actual del n\u00famero dorado, sea la representaci\u00f3n arquitect\u00f3nica m\u00e1s elevada y exquisita de aquella suerte de acertijo geom\u00e9trico, que se rige bajo el mismo principio de anidaci\u00f3n de las tradicionales matrioskas rusas (una mu\u00f1eca dentro de otra, y \u00e9sta a su vez dentro de otra, y de otra, y de otra, \u2026), s\u00edmbolo de la continuidad de la vida.<\/p>\n

Siglos m\u00e1s tarde, en el periodo de mayor esplendor del Renacimiento, Alberto Durero depur\u00f3 la t\u00e9cnica de la espiral \u00e1urea, alcanzando cotas de especial belleza en sus pinturas. Leonardo da Vinci la utiliz\u00f3 en \u201cLa Gioconda\u201d<\/strong>, \u201cLa Anunciaci\u00f3n\u201d<\/strong> y \u201cLa \u00daltima Cena\u201d<\/strong>, y su afamado \u201cHombre de Vitruvio\u201d<\/strong> dict\u00f3 el paradigma de la belleza masculina y la perfecci\u00f3n anat\u00f3mica de la \u00e9poca. A mediados del siglo XX, Le Corbusier dise\u00f1\u00f3 el majestuoso Edificio de las Naciones Unidas siguiendo los mismos criterios renacentistas. Del mismo modo, la relaci\u00f3n de oro ha tenido diversas aplicaciones en la m\u00fasica, gozando de un amplio prestigio, con el objeto de brindar una estructura m\u00e1s s\u00f3lida a las composiciones, ritmos y melod\u00edas. En tal sentido, Bach sol\u00eda emplear la proporci\u00f3n \u00e1urea en sus fugas; Beethoven, en sus sinfon\u00edas; y hasta Lady Gaga, en sus fusiones electr\u00f3nicas. En la actualidad, suele utilizarse en el dise\u00f1o de logos, tarjetas de cr\u00e9dito y p\u00e1ginas web<\/em>, en los encuadres para el cine y la televisi\u00f3n, en la fotograf\u00eda art\u00edstica, en la arquitectura de vanguardia, y hasta en las selfies<\/em> que proliferan en las redes sociales.<\/p>\n

Pero su influencia va m\u00e1s all\u00e1 del arte y la cultura, y he aqu\u00ed lo m\u00e1s inquietante, pues tal parece que la naturaleza abraza con ostensible fervor al n\u00famero phi<\/em>. La disposici\u00f3n de las hojas en las ramas de los \u00e1rboles y plantas, por ejemplo, obedece a un patr\u00f3n supeditado a la espiral \u00e1urea, procurando que ninguna hoja le d\u00e9 sombra suficiente a otra, y as\u00ed lograr que se optimice el ciclo de la fotos\u00edntesis, lo que nos indica claramente que la relaci\u00f3n de Fibonacci, antes que perseguir la belleza – sin un prop\u00f3sito aparente -, busca perfeccionar los procesos naturales. Bajo esta misma premisa, un girasol crece respetando la espiral \u00e1urea, tanto en sentido horario como antihorario, de tal forma que sus semillas logren aprovechar el m\u00e1ximo espacio posible, en aras de una reproducci\u00f3n eficaz y confiable. De igual forma, alrededor del 60 % de las galaxias tienden a adoptar una forma de espiral \u00e1urea, en funci\u00f3n de favorecer la rotaci\u00f3n diferencial y la tracci\u00f3n de la gravedad, as\u00ed como los huracanes, en funci\u00f3n de concentrar la energ\u00eda en su v\u00f3rtice central, o como la mol\u00e9cula del ADN, en funci\u00f3n de maximizar la estabilidad de la preciada informaci\u00f3n gen\u00e9tica que porta. Quiz\u00e1 uno de los casos m\u00e1s emblem\u00e1ticos sea el de la concha del nautilus, un molusco milenario, que tambi\u00e9n medra bajo el influjo de una espiral logar\u00edtmica, fusionando belleza y eficiencia, en su empe\u00f1o evolutivo de aumentar de tama\u00f1o sin cambiar de forma. Igualmente, la pi\u00f1a debe su aspecto ovalado y rugoso a la divina proporci\u00f3n y el \u00e1ngulo de oro (137,5 grados), lo cual propicia que sus escamas hexagonales se compacten de una manera org\u00e1nica, evitando que se superpongan las unas sobre las otras.<\/p>\n

El mismo cuerpo humano y el rostro son gobernados en t\u00e9rminos de la sucesi\u00f3n de Fibonacci – y la simetr\u00eda -, m\u00e1s como una soluci\u00f3n pragm\u00e1tica y elegante, en pro de la cohesi\u00f3n estructural y el crecimiento arm\u00f3nico, lo cual repercute inexorablemente en el factor est\u00e9tico: la belleza objetiva per se<\/em>. Prueba fehaciente de ello es la relaci\u00f3n de tama\u00f1o entre las tres falanges de los dedos, el largo del f\u00e9mur comparado con la separaci\u00f3n entre la rodilla y el tobillo, la estructura de la oreja, la altura total respecto a la distancia del ombligo hasta el suelo, la proporci\u00f3n entre la longitud del brazo entero y el antebrazo o del antebrazo y la mano, la relaci\u00f3n entre el ancho de la boca y el de la nariz o la distancia entre los ojos. En fin. Me podr\u00eda extender largamente citando miles de ejemplos en la naturaleza o en nuestra esfera m\u00e1s pr\u00f3xima, pero el objetivo primario de esta \u00faltima parte del texto se centra, m\u00e1s bien, en resaltar la belleza velada y discreta que nos ofrece aquel mundo circundante y en apariencia habitual, una belleza que muchas veces escapa a nuestro incipiente y poco refinado sistema sensorial; ese orden matem\u00e1tico oculto que subyace en la cotidianidad y que nuestro cerebro clasifica, casi de un modo inconsciente, como agradable a la vista, lo que en s\u00ed se constituye como un triunfo incontestable de la evoluci\u00f3n, redundando en un equilibrio natural perfecto – y necesario -.<\/p>\n

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